Question

2．已知a＞2，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x+x-3（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{a}）^{x}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）有两个零点分别为x₁，x₂，则（　　）

• A． ?a＞2，x₁+x₂=0
• B． ?a＞2，x₁+x₂=1
• C． ?a＞2，|x₁-x₂|=2
• D． ?a＞2，|x₁-x₂|=3

Answer 1

分析 可令f（x）=0，当a＞2时，f（x）在（0，+∞）递增，在（-∞，0]递增，则设x₁＜0，x₂＞0，作出y=x+3，y=（$\frac{1}{a}$）^x，x≤0的图象，可得交点A，y=3-x，y=log_ax，x＞0的图象，可得交点C，作出y=a^x（x＞0）的图象，可得交点B，可知A，B关于y轴对称，直线y=x垂直平分BC，即可得到答案．

解答 解：可令f（x）=0，
当a＞2时，f（x）在（0，+∞）递增，在（-∞，0]递增，
则设x₁＜0，x₂＞0，
即为x₁+3=（$\frac{1}{a}$）${\;}^{{x}_{1}}$，
3-x₂=log_ax₂，
作出y=x+3，y=（$\frac{1}{a}$）^x，x≤0的图象，可得交点A，
y=3-x，y=log_ax，x＞0的图象，可得交点C，
作出y=a^x（x＞0）的图象，可得交点B，
可知A，B关于y轴对称，
直线y=x垂直平分BC，
即有x_B=-x₁，y_B=x₂，
且B在直线y=3-x上，即有x₂-x₁=3．
故?a＞2，|x₁-x₂|=3，
故选：D．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用数形结合思想方法，以及对称思想，考查作图能力以及转化思想，属于中档题．