Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R），且b²=3ac．
（Ⅰ）当$p=\frac{4}{3}，b=1$时，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B为钝角，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦定理可得b²=3ac=1，a+c=$\frac{4}{3}$b=$\frac{4}{3}$，由此解得a和c的值．
（Ⅱ）由条件利用余弦定理求得p²=$\frac{5}{3}$+$\frac{2}{3}$cosB，再结合-1＜cosB＜0，求得p²的范围，从而求得p的范围．

解答 解：△ABC中，∵sinA+sinC=psinB（p∈R），且b²=3ac，故a+c=pb．
（Ⅰ）当$p=\frac{4}{3}，b=1$时，则由sinA+sinC=$\frac{4}{3}$sinB（p∈R），且b²=3ac=1，
故有a+c=$\frac{4}{3}$b=$\frac{4}{3}$，解得a=$\frac{1}{3}$，c=1； 或者a=1，c=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-$\frac{2}{3}$b²cosB-$\frac{2}{3}{•b}^{2}$，
即p²•b²=$\frac{5}{3}{•b}^{2}$+$\frac{2}{3}{•b}^{2}$•cosB，即p²=$\frac{5}{3}$+$\frac{2}{3}$cosB，
因为角B为钝角，故-1＜cosB＜0，所以p²∈（1，$\frac{5}{3}$）．
由题设知p∈R，又由sinA+sinC=psinB知，p是正数，
求p的取值范围为（1，$\frac{\sqrt{15}}{3}$）．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，钝角的余弦值的范围，属于中档题．