Question

5．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）是减函数，则实数a∈（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． （4，+∞）
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解，结合参数分离法进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=-2sin2x+acosx，
若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）是减函数，
则f′（x）=-2sin2x+acosx≤0恒成立，
即acosx≤2sin2x，
∵cosx＞0，
∴a≤$\frac{2sin2x}{cosx}$=$\frac{4sinxcosx}{cosx}$=4sinx，
当$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{2}$时，4sin$\frac{π}{6}$＜4sinx＜4sin$\frac{π}{2}$，
即2＜4sinx＜4，
则a≤2，
故选：B

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．