Question

10．已知点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0．-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，-$\sqrt{3}$），若|f（x₁）-f（x₂）|=4，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心坐标；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由任意角的三角函数的定义求得tanφ=-$\sqrt{3}$，故可以取φ=-$\frac{π}{3}$．再根据函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于$\frac{π}{3}$，故函数的周期为$\frac{2π}{3}$，由此求得ω 的值，从而求得函数的解析式，
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换和正弦函数的图象和性质即可得解．
（3）由题意可得，当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，m≥1-$\frac{2}{f（x）+2}$恒成立，求得1-$\frac{2}{f（x）+2}$的最大值，可得m的范围．

解答 解：（1）∵角φ的终边经过点P（1，-$\sqrt{3}$），
∴角φ的终边在第四象限，且tanφ=-$\sqrt{3}$，
∴可以取φ=-$\frac{π}{3}$．
∵点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0．-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）图象上的任意两点，若|f（x₁）-f（x₂）|=4，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于$\frac{π}{3}$，故函数的周期为$\frac{2π}{3}$，故 $\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=3．
故函数的解析式为 f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）．
（2）将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到：y=2sin[3（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）．
再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的y=g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
由$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{1}{9}$π，即函数的对称中心为（$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{1}{9}$π，0），（k∈Z），
（3）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，即m[f（x）+2]≥f（x）．
由于当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，∴f（x）+2＞0．
故有 m≥$\frac{f（x）}{f（x）+2}$=$\frac{f（x）+2-2}{f（x）+2}$=1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 恒成立．
由于1-$\frac{2}{f（x）+2}$的最大值为 1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴m≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，任意角的三角函数的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．