Question

设[x]是不大于x的最大整数．若函数f（x）=|x-[x+a]|存在最大值，则正实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：记{b}为实数b的小数部分，再根据[x]的定义和解析式对a、x分类讨论，分别求出对应的解析式，并判断出是否有最大值．

解答： 解：记{b}为实数b的小数部分，即{b}=b-[b]．
当a≥1时，[x+a]＞x，因此f（x）=[x+a]-x，是以1为周期的周期函数，
因此当x∈[0，1-{a}）时，f（x）=[a]+0-x，
当x∈[1-{a}，1）时，f（x）=[a]+1-x，f（x）在x=1-{a}处达到最大值a．
当a≤0时，f（x）=x-[x+a]，类似可知f（x）没有最大值．
当a∈（0，1）时，若x∈[0 1-{a}），f（x）=x，
若x∈[1-{a}，1），f（x）=1-x．
于是当a≥

1

2

时，f（x）有最大值；当a＜

1

2

时，f（x）没有最大值．
综上知a≥

1

2

时，f（x）有最大值，
故答案为：[

1

2

，+∞)．

点评：本题考查取整函数的定义，关键是确定只需讨论f（x）在[0，1）上的最值即可，考查分类讨论思想．