Question

13．已知线段AB的端点B（4，6），端点A在圆（x-4）²+y²=100上移动．
（1）若线段AB的中点为M，那么点M的轨迹C是什么曲线
（2）若直线l：mx-y+1-m=0，求直线1被曲线C截得的最长和最短的弦的长及此时m的值．

Answer 1

分析 （1）设出M，A的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用端点A在圆（x-4）²+y²=100上运动，可得轨迹方程．
（2）将直线l的方程变形提出m，根据直线方程的斜截式，求出直线恒过点（1，1），直线l截圆所得的弦最长时，一定过圆心；当弦长最短时，直线的斜率，即可求得直线方程．

解答 解：（1）设线段AB中点为M（x，y），A（m，n），则m=2x-4，n=2y-6
∵端点A在圆（x-4）²+y²=100运动，
∴（m-4）²+n²=100，
∴（2x-8）²+（2y-6）²=100
∴（x-4）²+（y-3）²=25
∴线段AB中点M的轨迹是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．
（2）∵直线L：mx-y+1-m=0即为y=m（x-1）+1
∴直线l恒过（1，1），在圆（x-4）²+（y-3）²=25的内部
被圆截得的弦最长的直线一定过圆心，方程为y-1=$\frac{3-1}{4-1}$（x-1），即2x-3y+1=0，此时m=$\frac{2}{3}$；
它的圆心为C（4，3），由弦长最短，可得最短时，直线的斜率为-$\frac{3}{2}$，故直线的方程为3x+2y-5=0，此时m=-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键．判断直线与圆的位置关系，一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判断，有时也可转化为直线恒过的点来判断．