Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围是[-3，0]．

Answer 1

分析 由条件可以求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=1$，而根据B，D，C三点共线，便可得到$\overrightarrow{AD}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，从而得到$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}]$$•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，进行数量积的运算便可得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=3λ-3$，

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos60°=1$；
∵B，D，C三点共线，∴存在实数λ使$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1；
∴$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=λ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}]（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$（1-2λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-（1-λ）{\overrightarrow{AB}}^{2}+λ{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=1-2λ-4（1-λ）+λ=3λ-3；
∵0≤λ≤1；
∴-3≤3λ-3≤0；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的取值范围为[-3，0]．
故答案为：[-3，0]．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，共线向量基本定理，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及不等式的性质．