Question

18．已知函数f（x）=f′（1）x²+2x${∫}_{0}^{1}$f（x）dx+1在区间（a，1-2a）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 先设${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=c，再求导得到f（x）=f′（1）x²+2cx+1，令x-1，得到f′（1）=-2c，继而得到f（x），再根据定积分的计算，求出c的值，继而求出f（x）=-3x²+3x+1，根据二次函数的性质即可求出a的取值范围．

解答 解：设${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=c，
∴f（x）=f′（1）x²+2cx+1，
∴f′（x）=f′（1）2x+2c，
∴f′（1）=2f′（1）+2c，
∴f′（1）=-2c，
∴f（x）=-2cx²+2cx+1，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（-2cx²+2cx+1）dx=（-$\frac{2}{3}$cx³+cx²+x）|${\;}_{0}^{1}$=-$\frac{2}{3}$c+c+1=c，
解得c=$\frac{3}{2}$，
∴f′（1）=-2c=-3，
∴f（x）=-3x²+3x+1，
∴函数f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，且开口向下，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上单调递增，
∵f（x）在区间（a，1-2a）上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜1-2a}\\{1-2a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了定积分的计算，二次函数的单调性，关键是换元，属于中档题．