Question

数列{a_n}和{b_n}的各项均为正数，且对于任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+（a₂₀₁₃-a₂₀₁₂）²，b_n=a_n+1．
（1）求

a2011+a2013

a2012

及

a2012+a2014

a2013

的值；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列；
（3）若数列{b_n}为等比数列，求a₂-a₁的值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）由条件可令n=2011，令n=2012，代入化简即可得到所求值，均为2；
（2）由（1）可得a₂₀₁₃-a₂₀₁₂=a₂₀₁₂-a₂₀₁₁=a₂₀₁₄-a₂₀₁₃，再令n=2010，n=2013，推得a₂₀₁₀，a₂₀₁₁，a₂₀₁₂，
a₂₀₁₃，a₂₀₁₄，a₂₀₁₅成等差数列，依此类推，即可得证；
（3）若数列{b_n}为等比数列，则b₂²=b₁b₃，即（a₂+1）²=（a₁+1）（a₃+1），设{a_n}的公差为d，由通项公式代入即可得到所求值．

解答： （1）解：由于对于任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+（a₂₀₁₃-a₂₀₁₂）²，
令n=2011，则a₂₀₁₂²=a₂₀₁₁a₂₀₁₃+a₂₀₁₃²+a₂₀₁₂²-2a₂₀₁₃a₂₀₁₂，
化简得，

a2011+a2013

a2012

=2，
令n=2012，则a₂₀₁₃²=a₂₀₁₂a₂₀₁₄+a₂₀₁₃²+a₂₀₁₂²-2a₂₀₁₃a₂₀₁₂，
化简得，

a2012+a2014

a2013

=2；
（2）证明：由（1）可知a₂₀₁₃-a₂₀₁₂=a₂₀₁₂-a₂₀₁₁=a₂₀₁₄-a₂₀₁₃，
可令n=2010，则得a₂₀₁₀+a₂₀₁₂=2a₂₀₁₁，即a₂₀₁₀，a₂₀₁₁，a₂₀₁₂成等差数列，
可令n=2013，则得a₂₀₁₃，a₂₀₁₄，a₂₀₁₅成等差数列，
…，
同理可推得a₂-a₁=a₃-a₂=a₄-a₃=…
=a₂₀₁₃-a₂₀₁₂=a₂₀₁₂-a₂₀₁₁=a₂₀₁₄-a₂₀₁₃=…=a_n+1-a_n．
由等差数列的定义，可得数列{a_n}为等差数列；
（3）解：若数列{b_n}为等比数列，
则b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+1，
且有b₂²=b₁b₃，则（a₂+1）²=（a₁+1）（a₃+1），
设{a_n}的公差为d，则a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d．
则（a₁+d+1）²=（a₁+1）（a₁+2d+1），
化简整理得，d=0，
故a₂-a₁的值为0．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查运用定义证明等差数列，考查运算和推理能力，属于中档题．