Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n+1=

3Sn

n

+n+1，n∈N^*，且S₄=18，令bn=

an

n

（1）求b₁，b₂，b₃的值
（2）求数列{b_n}的通项公式
（3）求证：对一切n∈N^*，有

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用递推思想分别求出数列{a_n}的前4项，由此得20a₁+20=18，从而能求出b₁=-

1

10

，b₂=

17

20

，b₃=

9

5

．
（2）由b₁，b₂，b₃是等差数列，假设{b_n}是等差数列，从而得到b_n=-

1

10

+（n-1）×(

17

20

+

1

10

)=

19

20

n-

21

20

．再用数学归纳法证明，由此能求出b_n=

19

20

n-

21

20

．
（3）由a_n=nb_n=

19n2-21n

20

，得

1

an

=

20

19n2-21n

＜

20

19

•

1

n(n-1)

=

20

19

(

1

n-1

-

1

n

)，n≥2，由此利用放缩法能证明

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

＜

1

2

．

解答： （1）解：∵a_n+1=

3Sn

n

+n+1，n∈N^*，
∴a₂=3a₁+2，
a3=

3

2

(a1+3a1+2)+3=6a₁+6，
a₄=（10a₁+8）+4=10a₁+12，
∵S₄=18，∴20a₁+20=18，解得a1=-

1

10

，
∴a2=3×(-

1

10

)+2=

17

10

，
a₃=6×(-

1

10

)+6=

27

5

，
∵b_n=

an

n

，
∴b₁=-

1

10

，b₂=

17

20

，b₃=

9

5

．
（2）∵b₁=-

1

10

，b₂=

17

20

，b₃=

9

5

．
∴b₁，b₂，b₃是等差数列，
假设{b_n}是等差数列，则b_n=-

1

10

+（n-1）×(

17

20

+

1

10

)=

19

20

n-

21

20

．
再用数学归纳法证明：
①b1=

19

20

-

21

20

=-

1

10

，成立．
②假设n=k时成立，即bk=

19

20

k-

21

20

，
ak+1=

3Sk

k

+k+1，ak=

3Sk-1

k-1

+k，
∴3S_k-3S_k-1=3a_k=ka_k+1-k（k+1）-（k-1）a_k+k（k-1），
整理，得ak+1=2+

2ak

k

+ak，
将bk=

ak

k

，即a_k=kb_k代入，得：
bk+1=

2+2bk+kbk

k+1

=

19k2+17k-2

20(k+1)

=

19

20

(k+1)-

21

20

，
∴b_n=

19

20

n-

21

20

．
（3）证明：∵a_n=nb_n=

19n2-21n

20

，
∴

1

an

=

20

19n2-21n

＜

20

19

•

1

n(n-1)

=

20

19

(

1

n-1

-

1

n

)，n≥2，
∴

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

＜

1

a1

+

20

19

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=-10+

20

19

(1-

1

n

)＜

1

2

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

＜

1

2

．

点评：本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．