题目内容

生产某种商品需要两种原料，甲种原料每1千克含5个单位铁和10个单位铜，且价格为6元；乙种原料每1千克含7个单位铁和4个单位铜，且价格为4元，该商品至少需要35个单位铁和40个单位铜．设生产该商品需要甲种原料x（x＞0）千克，乙种原料（y＞0）千克，甲、乙两种原料总费用为z元．
（1）写出x，y满足的约束条件；
（2）求目标函数z的最小值，并求出相应的x，y值．
考点：简单线性规划
专题：不等式的解法及应用
分析：（1）直接由题意得到满足条件的线性约束条件；
（2）由题意得到目标函数，再由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答： 解：（1）由题意可得x，y满足的约束条件为
5x+7y≥35
10x+4y≥40
x＞0
y＞0
；
（2）由题意知，目标函数z=6x+4y．
在平面直角坐标系内画出约束条件
5x+7y≥35
10x+4y≥40
x＞0
y＞0
表示的平面区域（如图），
将目标函数z=6x+4y变形为y=-
3
2
x+
z
4
，这是斜率为-
3
2
，随着z变化的一族直线，
z
4
是直线在y轴上的截距．
当
z
4
最小时，z最小，但是直线要与可行域相交．
由图可知，z取得最小值是直线5x+7y=35与10x+4y=40的交点A（2.8，3），
∴zmin=6×2.8+4×3=28.8，此时x=2.8，y=3．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数学建模思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1=
3Sn
n
+n+1，n∈N*，且S4=18，令bn=
an
n

（1）求b1，b2，b3的值
（2）求数列{bn}的通项公式
（3）求证：对一切n∈N*，有
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
＜
1
2
．
在△ABC中，已知AB=1，BC=
7
，A=
2π
3
，那么sinB=
 
．
已知向量
AB
=（1，-1），
AC
=（4，3），则|
BC
|=（　　）
A、5
B、
29
C、
2
D、2
已知a1=5，
3an+1
=an，求{an}通项．
某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有
 
种．
已知物体运动的方程为s（t）=vt-
1
2
gt2，则在t=1时的瞬时速度是
 
．
已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（　　）
A、0B、-2C、-4D、2
已知sin（α+β）=
1
2
，sin（α-β）=
1
3

（1）求证：sinα•cosβ=5cosα•sinβ
（2）若已知0＜α+β＜
π
2
，0＜α-β＜
π
2
，求cos2α的值．

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