Question

某民营企业每年度清理排污费用24万元，为了环保和节省开支，决定安排一个可使用15年的排污设备，安装设备的费用（万元）与设备容量（kw）成正比例，比例系数为0.5，安装设备后企业每年治污的费用w（万元）与该设备容量x（kw）之间的函数关系式是w（x）=

k

20x+100

（k为常数，x≥0），设F（万元）为该企业安装设备的费用与15年所有治污费用的和．
（1）求k的值，并写出与x的关系式；
（2）当x为何值时，F有最小值？并求出最小值是多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C（0）=

k

100

=24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；
（2）利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．

解答： 解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，
即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）
由C（0）=

k

100

=24，得k=2400 …（3分）
所以F=15×

2400

20x+100

+0.5x=

1800

x+5

+0.5x，x≥0…（7分）
（2）因为

1800

x+5

+0.5（x+5）-2.5≥2

1800×0.5

-2.5=57.5，…（10分）
当且仅当

1800

x+5

=0.5（x+5），即x=55时取等号 …（13分）
所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）

点评：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于中档题．