Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）设函数g（x）=f（x）+2cos2x，求函数g（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=

π

6

时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式及单调递增区间．
（2）根据正弦函数的最值结合定义域即可求函数y=2

3

sin（2x+

π

3

）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最值．

解答： 解：（1）由题意可知A=2，T=4（

5π

12

-

π

6

）=π，ω=

2π

T

=2，
当x=

π

6

时取得最大值2，所以 2=2sin（2×

π

6

+φ），
由于|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

，
函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
故其单调递增区间是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
（2）∵g（x）=f（x）+2cos2x=2sin（2x+

π

6

）+2cos2x=

3

sin2x+3cos2x=2

3

sin（2x+

π

3

），
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]
∴2x+

π

3

∈[0，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

3

）∈[0，1]
∴g（x）_min=0，g（x）_max=2

3

．

点评：本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．