Question

已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）易求f（x-1）+f（x+3）=

-2x，x＜-2 4，-2≤x≤2 2x，x＞2

，利用一次函数的单调性可求f（x-1）+f（x+3）≥6的解集；
（Ⅱ）利用分析法，要证f（ab）＞|a|f（

b

a

），只需证证（ab-1）²＞（b-a）²，再作差证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x-1）+f（x+3）=|x-2|+|x+2|=

-2x，x＜-2 4，-2≤x≤2 2x，x＞2

，
当x＜-2时，由-2x≥6，解得x≤-3；
当-2≤x≤2时，f（x）=4≥6不成立；
当x＞2时，由2x≥6，解得x≥3．
∴不等式f（x-1）+f（x+3）≥6的解集为{x|x≤-3，或x≥3}．              
（Ⅱ）证明：∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，
∴要证f（ab）＞|a|f（

b

a

），只需证|ab-1|＞|b-a|，只需证（ab-1）²＞（b-a）²，
而（ab-1）²-（b-a）²=a²b²-a²-b²+1=（a²-1）（b²-1）＞0显然成立，
从而原不等式成立．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分析讨论，去掉绝对值符号，利用一次函数的单调性求最值是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题．