Question

若x，y∈R，设M=

x2

x2- 3 xy+y2

（y≠0），则M的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：分子分母同时除以x²，得到关于

y

x

的一元二次函数形式，然后利用一元二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：若x=0，则M=0，
若x≠0，
则M=

x2

x2- 3 xy+y2

=

1

1- 3 • y x +( y x )2

，
设t=（

y

x

）²-

3

•

y

x

+1，
则t=（

y

x

）²-

3

•

y

x

+1=（

y

x

-

3

2

）²+

1

4

≥

1

4

，
∴0＜

1

t

≤4，
即此时0＜M≤4，
综上0≤M≤4且M≠1，
故答案为：{M|0≤M≤4且M≠1}．

点评：本题主要考查代数式的取值范围，利用条件进行转换为一元二次函数形式是解决本题的关键．