Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F（

2

，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（|k|≤

2

2

）与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先由已知F（

2

，0）为椭圆的右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，可得c=

2

，

b2

a

=1，结合a²=b²+c²，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±

3

2

，所以|OP|=

2

；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．

解答： 解：（Ⅰ）∵F（

2

，0）为椭圆的右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
∴c=

2

，

b2

a

=1，
∵a²=b²+c²
∴a²=4，b²=2．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±

3

2

，
∴|OP|=

2

；
当k≠0时，直线方程代入椭圆方程，消y化简整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（4k²-m²-2＞0①
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则x₀=x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

．
由于点P在椭圆C上，∴

x02

4

+

y02

2

=1．
从而

4k2m2

(1+2k2)2

+

2m2

(1+2k2)2

=1，化简得2m²=1+2k²，经检验满足①式，
又|OP|=

x02+y02

=

4- 2 1+2k2

，
∵0＜|k|≤

2

2

，
∴1＜1+2k²≤2，
∴1≤

2

1+2k2

＜2，
∴

2

＜|OP|≤

3

，
综上，所求|OP|的取值范围是[

2

，

3

]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．