Question

某校高三年级发展均衡，各班均有学生50人，全校共有20个平行班级．随机选择一个班，将他们的期中数学考试成绩分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示频率分布直方图．
（1）请估计该校这20个班级中成绩不低于60分的人数；
（2）为了帮助学生提高数学成绩，该班班主任决定成立“二帮一”小组：对成绩在[40，50）内的每位同学，从成绩在[90，100]中选两位同学对其数学学习提供帮助，各组成员没有重复．已知甲成绩为42分，乙成绩为95分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；
（2）先算出成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的“二帮一”小组分组办法的基本事件，以及甲、乙两同学被分在同一小组的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．

解答： 解：（1）根据频率分布直方图，
成绩不低于60分的频率为1-10×（0.004+0.010）=0.86．
由于该校高一年级共有学生50×20=1000人，
利用样本估计总体的思想，
可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数为1000×0.86=860人．
（2）成绩在[40，50）分数段内的人数为50×0.04=2人
成绩在[90，100）分数段内的人数为50×0.1=5人，
将[40，50）内2人记为甲、A．[90，100）内5人记为乙、B、C、D、E．
“二帮一”小组有以下20种分组办法：
甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲乙E，甲BC，甲BD，甲BE，甲CD，甲CE，甲DE，
A乙B，A乙C，A乙D，A乙E，
ABC，ABD，ABE，
ACD，ACEE，
ADE，
其中甲、乙两同学被分在同一小组有4种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲乙E
所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P=

4

20

=

1

5

．

点评：本题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．属于中档题．