Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，记F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的定义域及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-2m²+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数函数和分式函数的定义域即可得出F（x）其定义域，利用零点的意义和对数函数的单调性即可得出；
（2）对a分类讨论可得函数F（x）的单调性，进而问题等价于关于x的方程2m²-3m-5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解．再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2loga(x+1)+loga

1

1-x

（a＞0且a≠1），
要使函数F（x）有意义，则必须

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴函数F（x）的定义域为D=（-1，1）．
令F（x）=0，则2loga(x+1)+loga

1

1-x

=0…（*）
方程变为loga(x+1)2=loga(1-x)，
∴（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，
经检验x=-3是（*）的增根，
∴方程（*）的解为x=0，
∴函数F（x）的零点为0．
（2）函数y=x+1，y=

1

1-x

在定义域D上是增函数，可得：
①当a＞1时，F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是增函数，
②当0＜a＜1时，函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是减函数．
因此问题等价于关于x的方程2m²-3m-5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解．
①当a＞1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是增函数，
∴F（x）∈[0，+∞），
∴只需2m²-3m-5≥0，解得：m≤-1，或m≥

5

2

．
②当0＜a＜1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是减函数，
∴F（x）∈（-∞，0]，
∴只需2m²-3m-5≤0解得：-1≤m≤

5

2

，
综上所述，当0＜a＜1时：-1≤m≤

5

2

；
当a＞1时，m≤-1，或m≥

5

2

．

点评：本题考查了对数函数及分式函数类型得到的复合函数的定义域单调性及其零点、一元二次不等式的解法、方程的解等价转化问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．