Question

已知函数f_n（x）=x+

n

x

，（x＞0，n≥1，n∈Z），以点（n，f_n（n））为切点作函数y=f_n（x）图象的切线l_n，记函数y=f_n（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，l_n所围成的区域面积为a_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求证：a_n＜

1

3n2

；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：S_n＜

5

9

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,定积分

专题：综合题,压轴题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，求出切点坐标，由直线方程的点斜式求得切线方程，由定积分求得函数y=f_n（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，l_n所围成的区域面积为a_n；
（Ⅱ）要证明a_n＜

1

3n2

，即证明nln(1+

1

n

)+

1

2n

-1＜

1

3n2

，可设想构造函数h（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x2-

1

3

x3 （x≥0），由其导函数确定原函数的单调性，进一步得到ln（1+x）＜x-

1

2

x2+

1

3

x3成立，取x=

1

n

，然后不等式两边同时乘以n，则可证得a_n＜

1

3n2

；
（Ⅲ）法一、由（Ⅱ）中不等式进一步放缩得到a_n＜

1

3n2

＜

1

3

•

1

n2- 1 4

=

2

3

•(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，把数列
{a_n}求和后正负项相消可证明不等式；
法二、把数列{a_n}的前n项和的前两项作和，然后由

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)放大n≥3的项，可证明n≥3时S_n＜

5

9

，单独验证S₁，S₂后可得答案．

解答： （Ⅰ）解：由f_n（x）=x+

n

x

，得fn′(x)=1-

n

x2

，
切点为（n，n+1），则切线l_n方程为y-(n+1)=(1-

n

n2

)(x-n)，
即ln：y=(1-

1

n

)x+2，
∴an=

∫

n+1 n

[x+

n

x

-(1-

1

n

)x-2]dx=

∫

n+1 n

(

x

n

+

n

x

-2)dx=nln(1+

1

n

)+

1

2n

-1；
（Ⅱ）证明：构造函数h（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x2-

1

3

x3 （x≥0），
则h′（x）=

1

1+x

-1+x-x2=

-x3

1+x

≤0
即函数h（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x2-

1

3

x3 （x≥0）单调递减，而h（0）=0，
∴h（x）≤0，等号在x=0时取得，
∴当x＞0时，ln（1+x）＜x-

1

2

x2+

1

3

x3成立，
∴知ln(1+

1

n

)＜

1

n

-

1

2

(

1

n

)2+

1

3

(

1

n

)3
∴a_n=nln(1+

1

n

)+

1

2n

-1＜

1

3n2

；
（Ⅲ）证明：
法一、
∵a_n＜

1

3n2

＜

1

3

•

1

n2- 1 4

=

2

3

•(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴当n=1时，S_n=a₁=

1

3

＜

5

9

；
当n≥2时，Sn=

n

k=1

ak=a1+

n

k=2

ak＜

1

3

+

2

3

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

5

9

-

2

3

•

1

2n+1

＜

5

9

．
方法二、
由（Ⅱ）知a_n＜

1

3n2

，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＜

1

3×12

+

1

3×22

+

1

3×32

+…+

1

3n2

=

1

3

(

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)=

1

3

(

5

4

+

1

32

+…+

1

n2

)，
∵

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n≥3，n∈N^*）
∴Sn＜

1

3

[

5

4

+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+…+

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=

1

3

[

5

4

+

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

)]=

5

9

-

1

6

(

1

n

+

1

n+1

)＜

5

9

又S1=a1=

1

3

＜

5

9

，S2=a1+a2≤

1

3

+

1

3×22

=

5

12

＜

5

9

，
∴综上所述：对一切n∈N^*，都有S_n＜

5

9

．

点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了定积分，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法求证不等式，
对于（Ⅱ）的证明，构造函数h（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x2-

1

3

x3 （x≥0）是难点，证明（Ⅲ）的关键是对每一项的放缩，是难度较大的题目．