Question

对于函数f（x）=

sinπx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，有下列4个命题：
①任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②f（x）=2^kf（x+2k）（k∈N^*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；
③对任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

恒成立，则实数k的取值范围是[

9

8

，+∞)．
④函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；
则其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：本题考查三角函数和对数函数的图象及性质，先由题意分析条件函数f（x）定义域为x∈[0，+∞），以2为变化区间的正弦类型的曲线，且当x＞2时，后面每个周期都是前一个周期振幅的

1

2

，然后根据相应性质判断命题即可．

解答： 解：①任取x₁、x₂∈[0，+∞），
当x₁、x₂∈[0，2]，|f（x₁）-f（x₂）|=|sinπx₁-sinπx₂|≤2，
当x∈（2，+∞），f（x）=

1

2

f（x-2）=（

1

2

）ⁿsinnπ，
综上都有任取x₁、x₂∈[0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，①正确；
②∵f（x）=

1

2

f（x-2），∴f（x+2k）=（

1

2

）^kf（x），∴f（x）=2^kf（x+2k）（k∈N^*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立，②正确；
③对任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

恒成立，则有k≥xf（x），|f（x）|≤1，当x→∞，xf（x）→∞，则实数k的取值范围是[

9

8

，+∞)错误．
④函数y=f（x）-ln（x-1）的定义域为（1，+∞），
当x=2时，y=sin2π-ln1=0，
而f（x）=sinπx是周期为2的类正线曲线；当x＞2时，f（x+2k）=（

1

2

）^kf（x），图象只发生振幅变化，
y=ln（x-1）为对数函数y=lnx图象向右平移1个单位得到，过定点（2，0），
做上述两函数图象可知：当1＜x＜2以及x＞2时两图象各有一交点，
则f（x）=有3个零点正确；
故答案为：①②④．

点评：本体解题的关键是对于函数的理解，能顺利做出函数的草图，利用图象及三角函数值得有界性解题．