Question

已知k为非零实数，函数f（x）=kx²，g（x）=lnx，F（x）=f（x）-g（2kx）-1．
（1）求函数F（x）的单调区间；
（2）若直线l与f（x）和g（x）的图象都相切，则称直线l是f（x）和g（x）的公切线，已知函数f（x）与g（x）有两条公切线l₁，l₂
①求k的取值范围；
②若a，b（a＞b ）分别为直线l₁，l₂与f（x）图象的两个切点的横坐标，求证：F′（

a+b

2

）＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性，求出函数的单调区间；
（2）由题意可得两个函数的切线方程，由两个函数有公切线得出方程组，解得即可．

解答： 解：（1）F（x）=f（x）-g（2kx）-1=kx²-ln2kx-1=kx²-lnx-ln2k-1，
其定义域为{x|x＞0}
∴F′（x）=2kx-

1

x

=

2k(x- 1 2k )(x+ 1 2k )

x2

，（x＞0）
∴函数F（x）的单调增区间是（

1 2k

，+∞），减区间是（0，

1 2k

）；
（2）①设f（x）=kx²上动点（x₀，kx₀），
则其以此点为切点的切线方程为y=2kx₀（x-x₀）+k

x

2 0

，
同理设g（x）=lnx上动点（x₁，lnx₁），
则其以此点为切点的切线方程为y=

1

x1

（x-x₁）+lnx₁，
即y=

1

x1

x-1+lnx₁，（其中x₁＞0）．
∵两函数有公切线，即令上述两切线相同，则有

1 x1 =2kx0 k x 2 0 =1-lnx1

，
即

1

4k x 2 1

=1-lnx1，即1=4k

x

2 1

（1-lnx₁），
若满足存在两条不同公切线，
则只需关于x₁的方程1=4k

x

2 1

（1-lnx₁），有两个不同的零点，
令h（x₁）=4k

x

2 1

（1-lnx₁）-1，（其中x₁＞0）．则h′（x₁）=4kx₁（1-2lnx₁），
于是当k＞0时，h（x₁）只在x₁=

e

处有极值，且为极大值，
只要h（

e

）＞0，即满足方程有两个不同的零点，故得k＞

1

2e

；
当k＜0时，h（x₁）只在x₁=

e

处有极值，且为极小值，
但在x₁→0时，h（x₁）＜0，说明方程只能有一个零点，不满足题意，
综上所述，k＞

1

2e

．
②由

1 x1 =2ka ka2=1-lnx1

得ka²-ln2ka-1=0，同理kb²-ln2kb-1=0，
∴x=a，x=b是函数F（x）=f（x）-g（2kx）-1的两个零点，只需考虑x∈（a，b），
∵F′（x）=

2kx2-1

x

，F^″（x）=2k+

1

x2

，有x=

1

2k

是F^″（x）的零点，
在x∈（b，

1

2k

）与x∈（

1

2k

，a）上，
由F^″（x）=2k+

1

x2

，根据F（x）的变化情况，得到

a+b

2

＞

1

2k

，
于是得F′（

a+b

2

）＞0．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、判断函数的零点等问题，考查学生分析问题、解决问题的能力及等价转化思想的运用能力，属于难题．