Question

已知正四棱锥V-ABCD的个棱长均为1，E、F分别是VB、VC的中点．
（1）判断直线AE是否与平面BDF平行，并说明理由；
（2）求证：平面VCD⊥平面BDF；
（3）求棱锥V-AEFD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）如图所示，由于E、F分别是VB、VC的中点，可得EF

∥

.

1

2

BC，EF

∥

.

1

2

AD．可得四边形AEFD是梯形，于是直线AE与平面BDF不平行．
（2）连接AC与BD相交于点O，连接VO．由VO⊥平面ABCD，可得VO⊥BD．可得BD⊥平面VAC，BD⊥VC．由于BF⊥VC．可得VC⊥平面DBF，即可证明．
（3）利用四棱锥的体积可得V_V-ABCD=

1

3

VO•SABCD．连接DE，可得VD-VEF=

1

3

VD-BCEF，V_D-VBC=

1

2

VV-ABCD，VD-VEF=

1

6

VV-ABCD．同理可得V_A-DVE=V_A-DEF=

1

4

VV-ABCD．因此V_V-AEFD=

5

12

VV-ABCD．

解答： （1）解：如图所示，
∵E、F分别是VB、VC的中点，
∴EF

∥

.

1

2

BC，
∵BC

∥

.

AD，
∴EF

∥

.

1

2

AD．
∴四边形AEFD是梯形，
∴AE与DF相交于平面BDF内的某一点．
因此直线AE与平面BDF不平行．
（2）连接AC与BD相交于点O，连接VO．
则VO⊥平面ABCD，
∴VO⊥BD，
又BD⊥AC，VO∩AC=O．
∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥VC．
∵△VBC是等边三角形，F是VC的中点，
∴BF⊥VC．
又BD∩BF=B，
∴VC⊥平面DBF，
∵VC?平面VCD，
∴平面VCD⊥平面BDF．
（3）解：如图所示，VO=

VA2-AO2

=

12-( 2 2 )2

=

2

2

．
∴V_V-ABCD=

1

3

VO•SABCD=

1

3

×

2

2

×12=

2

6

．
连接DE，则VD-VEF=

1

3

VD-BCEF，V_D-VBC=

1

2

VV-ABCD，
∴VD-VEF=

1

6

VV-ABCD．
同理可得V_A-DVE=V_A-DEF=

1

4

VV-ABCD．
∴V_V-AEFD=

5

12

VV-ABCD=

5

12

×

2

6

=

5 2

72

．

点评：本题综合考查了线面平行的判定定理、梯形的定义、三角形的中位线定理、线面面面垂直的判定与性质定理、勾股定理、正方形的性质、三棱锥与四棱锥的体积计算公式、等边三角形的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．