Question

设函数f（x）=4^x-

1

x+2

．
（1）用定义证明f（x）在（-2，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）的零点的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的单调性的定义证明f（x）在（-2，+∞）上是增函数．
（2）利用函数零点的判定定理证得f（x）在区间(-

1

2

，0)内有零点，再根据f（x）在（-2，+∞）上是增函数，可得f（x）在（-2，+∞）内仅有一个零点．

解答： 解：（1）证明：设x₁＞x₂＞-2，由于函数f（x）=4^x-

1

x+2

，则f(x1)=4x1-

1

x1+2

，f(x2)=4x2-

1

x2+2

，
所以f（x₁）-f（x₂）=4x1-

1

x1+2

-(4x2-

1

x2+2

)=4x1-4x2+

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

．
∵x₁＞x₂＞0，y=4^x是增函数，∴4x1-4x2＞0，

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函数．
（2）函数f(x)=4x-

1

x+2

的定义域为x∈R且x≠-2，
当x∈（-2，+∞）时，∵f(-

1

2

)=4-

1

2

-

1

- 1 2 +2

=

1

2

-

2

3

＜0，f(0)=1-

1

2

=

1

2

＞0，
∴f(-

1

2

)f(0)＜0，∴f（x）在区间(-

1

2

，0)内有零点．
又由（1）知f（x）在（-2，+∞）上是增函数，∴f（x）在（-2，+∞）内仅有一个零点．
又x＜-2时，f(x)=4x-

1

x+2

＞0，∴f（x）的零点的个数为1．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数零点的判定定理，方程的根的存在性及个数判断，属于基础题．