Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a≥2时，若存在x₁、x₂（x₁≠x₂），使得曲线y=f（x）在x=x₁与x=x₂处的切线互相平行，求证：x₁+x₂＞8．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，通分整理后得到f′(x)=

x2+x-a

x2

，然后根据二次三项式x²+x-a对应方程根的情况分析导函数的符号，从而得到原函数的单调性，利用原函数的单调性求得使f（x）有最值的实数a的取值范围；
（Ⅱ）由曲线y=f（x）在x=x₁与x=x₂处的导数相等得到a=

x1x2

x1+x2

，由已知a≥2得到2（x₁+x₂）≤x₁•x₂，
结合不等式x1•x2＜(

x1+x2

2

)2可证得答案．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=x+

a

x

+lnx，（a∈R），
∴f′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

，x∈（0，+∞）．
由x²+x-a对应的方程的△=1+4a知，
①当a≤-

1

4

时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，无最值；
②当-

1

4

＜a≤0时，x²+x-a=0的两根均非正，
因此，f（x）在（0，+∞）上递增，无最值；
③当a＞0时，x²+x-a=0有一正根x=

-1+ 1+4a

2

，
当x∈(0，

-1+ 1+4a

2

)时，f′（x）＜0，f（x）在(0，

-1+ 1+4a

2

)上递减，
当x∈(

-1+ 1+4a

2

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）在(

-1+ 1+4a

2

，+∞)上递增．
此时f（x）有最小值．
∴实数a的范围为a＞0；
（Ⅱ）证明：依题意：1-

a

x12

+

1

x1

=1-

a

x22

+

1

x2

，
整理得：a(

1

x1

+

1

x2

)=1，
由于x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，则有
a=

x1•x2

x1+x2

≥2，
∴2(x1+x2)≤x1•x2＜(

x1+x2

2

)2
∴2(x1+x2)＜(

x1+x2

2

)2，
则x₁+x₂＞8．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．