Question

下列叙述中，正确的个数是（　　）
①命题p：“?x∈R，x²-2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈R，x²-2＜0”；
②O是△ABC所在平面上一点，若

OA

•

OB

=

OB

•

OC

=

OC

•

OA

，则O是△ABC的垂心；
③“M＞N”是“（

2

3

）^M＞（

2

3

）^N”的充分不必要条件；
④命题“若x²-3x-4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²-3x-4≠0”；
⑤已知

a

=（2，-1），

b

=（m，m-1），则

a

和

b

的夹角为锐角充要条件为：m＞-1．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：直接写出命题的否定判断①；
把给出的含向量数量积的等式移项变形，得到顶点与O点的连线垂直于对边，从而说明命题②正确；
由指数函数的单调性说明③错误；
直接写出命题的逆否命题说明④正确；
举反例说明命题⑤错误．

解答： 解：对于①，命题p：“?x∈R，x²-2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈R，x²-2＜0”，
∴命题①正确；
对于②，O是△ABC所在平面上一点，由

OA

•

OB

=

OB

•

OC

，得

OB

•(

OA

-

OC

)=0，即

OB

•

CA

=0，
∴OB⊥CA．
由

OB

•

OC

=

OC

•

OA

，得

OC

•(

OB

-

OA

)=0，即

OC

•

AB

=0，
∴OC⊥AB．
则O为△ABC的垂心．命题②正确；
对于③，∵y=(

2

3

)x是实数集内的减函数，
∴“M＞N”是“（

2

3

）^M＜（

2

3

）^N”的充分不必要条件．命题③错误；
对于④，命题“若x²-3x-4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²-3x-4≠0”．
∴命题④正确；
对于⑤，当m=

2

3

＞-1时，

b

=(

2

3

，-

1

3

)，

a

=(2，-1)=3(

2

3

，-

1

3

)=3

b

，
则

a

和

b

的夹角为0°．
∴命题⑤错误．
故正确的命题是①②④共3个．
故选：C．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，解答②的关键是移项变形，由向量垂直得到线线垂直，通过举反例说明命题⑤起到事半功倍的效果，是中档题．