Question

设函数f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线y=-

1

2

的下方，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线的方程；
（II）利用导数可得函数f（x）的极大值即可得到最大值，进而利用函数y=f（x）的图象总在直线y=-

1

2

的下方?f(x)max＜-

1

2

即可解出．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，由f（x）=-x²+lnx，
可得f/(x)=-2x+

1

x

，
∴f′（1）=-1，∴切线的斜率为-1．
又f（1）=-1，∴切点为（1，-1）．
故所求的切线方程为：y+1=-（x-1），即x+y=0．
（Ⅱ）f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

，x＞0，a＜0．
令f′（x）=0，则x=

- 1 2a

．
当x∈(0，

- 1 2a

]时，f′（x）＞0；当x∈(

- 1 2a

，+∞)时，f′（x）＜0．
故x=

- 1 2a

为函数f（x）的唯一极大值点，
∴f（x）的最大值为f(

- 1 2a

)=-

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)．
由题意有-

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)＜-

1

2

，解得a＜-

1

2

．
∴a的取值范围为(-∞，-

1

2

)．

点评：本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．