题目内容
已知双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0），设P是双曲线C上任意一点，O为坐标原点，设F为双曲线右焦点．
（1）若双曲线C满足：无论点P在右支的何处，总有|PO|＞|PF|，求双曲线C在第一、三象限的那条渐近线的倾斜角的取值范围；
（2）过右焦点F的动直线l交双曲线于A、B两点，是否存在这样的a，b的值，使得△OAB为等边三角形．若存在，求出所有满足条件的a，b的值；若不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若双曲线C满足：无论点P在右支的何处，总有|PO|＞|PF|，求双曲线C在第一、三象限的那条渐近线的倾斜角的取值范围；
（2）过右焦点F的动直线l交双曲线于A、B两点，是否存在这样的a，b的值，使得△OAB为等边三角形．若存在，求出所有满足条件的a，b的值；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）求出|OP|，|PF|，利用|PO|＞|PF|，可得0＜
＜
，即可得出结论；
（2）确定A、B是关于x轴或y轴或原点对称的，再分类讨论，A、B都在右支上，于是由Rt△OAF的各边关系，得|AB|=2|AF|=
且|OA|=
，即可得出结论．
| b |
| a |
| 3 |
（2）确定A、B是关于x轴或y轴或原点对称的，再分类讨论，A、B都在右支上，于是由Rt△OAF的各边关系，得|AB|=2|AF|=
| 2b2 |
| a |
|
解答：
解：（1）|OP|=
=
（x≤-a或x≥a）；------（2分）
|PF|=|
x-a|，
∵|PO|＞|PF|，
∴|PO|2＞|PF|2，
∴2x＞c（x≥a）恒成立，------（4分）
∴c＜（2x）min=2a，
∴a2+b2＜4a2，
∴0＜
＜
，------（5分）
设所求的倾斜角为θ，则0＜tanθ＜
，得0＜θ＜
．------（6分）
（2）由|OA|=|OB|及（1）得xA2=xB2，∴yA2=yB2，
于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的，
若关于原点对称，则A、O、B、F共线，这是不可能的；------（8分）
若关于y轴对称，则AB∥x轴，这也是不可能的；------（10分）
若关于x轴对称，则AB∥y轴，又A、F、B共线，∴A、B都在右支上，
于是由Rt△OAF的各边关系，得|AB|=2|AF|=
且|OA|=
，
∴
=
，即a4+a2b2-3b4=0，（12分）
设b=m＞0，则a=
m，
∴存在这样的a=
m，b=m（其中m为正常数），使△OAB为等边三角形．------（14分）
|
|
|PF|=|
| c |
| a |
∵|PO|＞|PF|，
∴|PO|2＞|PF|2，
∴2x＞c（x≥a）恒成立，------（4分）
∴c＜（2x）min=2a，
∴a2+b2＜4a2，
∴0＜
| b |
| a |
| 3 |
设所求的倾斜角为θ，则0＜tanθ＜
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由|OA|=|OB|及（1）得xA2=xB2，∴yA2=yB2，
于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的，
若关于原点对称，则A、O、B、F共线，这是不可能的；------（8分）
若关于y轴对称，则AB∥x轴，这也是不可能的；------（10分）
若关于x轴对称，则AB∥y轴，又A、F、B共线，∴A、B都在右支上，
于是由Rt△OAF的各边关系，得|AB|=2|AF|=
| 2b2 |
| a |
|
∴
| 4b4 |
| a2 |
| c4-a2b2 |
| a2 |
设b=m＞0，则a=
| ||||
| 2 |
∴存在这样的a=
| ||||
| 2 |
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
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