Question

衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
（Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为

1

9

，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（I）利用频率分布直方图能求出获得参赛资格的人数．
（II）利用频率分布直方图能求出这500名测试学生的平均成绩．
（III）由题设条件求出甲答对每一道题的概率

2

3

，ξ可能取得值为3，4，5，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（I）获得参赛资格的人数m=（0.005+0.0043+0.032）×20×500=125（2分）
（II）平均成绩：

.

X

=(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032)×20
=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48（5分）
（III）设甲答对每一道题的概率为．P
则（1-p）²=

1

9

，∴p=

2

3

，
∴ξ可能取得值为3，4，5，
P（ξ=3）=P³+（1-P）³=

1

3

，
P（ξ=4）=

C

2 3

P2(1-p)P+

C

2 3

(1-p)p(1-p)=

10

27

，
P（ξ=5）=1-

1

3

-

10

27

=

8

27

，
∴ξ的分布列为

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．（12分）

点评：本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．