Question

在一次综合知识竞赛中，有两道填空题和两道解答题，填空题每题5分，解答题每题10分，某参赛者答对填空题的概率都是

3

4

，答对解答题的概率都是

2

3

，解答备题的结果是相互独立的．
（Ⅰ）求该参赛者恰好答对一道题的概率；
（Ⅱ）求该参赛者的总得分X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设参赛者答对填空题为事件A_i（i=1，2），答对解答题为事件B_i（i=1，2），由此能求出该参赛者恰好答对一道题的概率．
（Ⅱ）由题意知X可能的取值为0，5，10，15，20，25，30，分别求出P（X=0），P（X=5），P（X=10），P（X=15），P（X=20），P（X=25），P（X=30），由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（Ⅰ）设参赛者答对填空题为事件A_i（i=1，2），
答对解答题为事件B_i（i=1，2），
则有P（

.

A1

.

A2

.

B1

B2）=P（

.

A1

.

A2

B1

.

B2

）=（

1

4

）²×

1

3

×

2

3

=

1

72

，
P（A1

.

A2

.

B1

.

B2

）=P（

.

A1

A2

.

B1

.

B2

）=

1

4

×

3

4

×(

1

3

)2=

1

48

，
所以该参赛者恰好答对一道题的概率为：
P=2×

1

72

+2×

1

48

=

5

72

．
（Ⅱ）由题意知X可能的取值为0，5，10，15，20，25，30，
P（X=0）=P（

.

A1

.

A2

.

B1

.

B2

）=（

1

4

）²•（

1

3

）²=

1

144

，
P（X=5）=P(A1

.

A2

.

B1

.

B2

）+P（

.

A1

A2

.

B1

.

B2

）=2×

1

4

×

3

4

×(

1

3

)2=

1

24

，
P（X=10）=P(A1

.

A2

.

B1

.

B2

)+P(

.

A1

.

A2

.

B1

B2)+P(

.

A1

.

A2

B1

.

B2)

=（

3

4

）²×（

1

3

）²+2×(

1

4

)2×

1

3

×

2

3

=

13

144

，
P（X=15）=P(A1

.

A2

.

B1

B2)+P(A1

.

A2

B1

.

B2

)+P(

.

A1

A2

.

B1

B2)+P(

.

A1

A2B1

.

B2

)
=4×

1

4

×

3

4

×

2

3

×

1

3

=

1

6

．
P（X=20）=P（A1A2

.

B1

B2）+P（A1A2B1

.

B2

）+P（

.

A1

.

A2

B1B2）
=2×(

3

4

)2×

1

3

×

2

3

+(

1

4

)2×(

2

3

)2=

5

18

，
P（X=25）=P(

.

A1

A2B1B2)+P（A1

.

A2

B1B2）
=2×

1

4

×

3

4

×(

2

3

)2=

1

6

，
P（X=30）=P（A₁A₂B₁B₂）=(

2

4

)2(

2

3

)2=

1

4

，
∴X的分布列为：

X	0	5	10	15	20	25	30
P	1 144	1 24	13 144	1 6	5 18	1 6	1 4

∴EX=0×

1

144

+5×

1

24

+10×

13

144

+15×

1

6

+20×

5

18

+25×

1

6

+30×

1

4

=

125

6

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机事件的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．