Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．求：
（Ⅰ）⊙O的半径；
（Ⅱ）sin∠BAP的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,弦切角

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）利用切割线定理，求出BC，即可求出⊙O的半径；
（Ⅱ）证明△PAB∽△PCA，求出AB，BC，即可sin∠BAP的值．

解答： 解：（Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以PA²=PB•PC，
又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15      …（2分）．
因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7.5．…（4分）
（Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，…（5分）
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PB

PA

=

5

10

=

1

2

…（7分）
设AB=k，AC=2k，
∵BC为⊙O的直径，
∴AB⊥AC，
∴BC=

k2+(2k)2

=

5

k…（8分）
∴sin∠BAP=sin∠ACB=

AB

BC

=

k

5 k

=

5

5

…（10分）

点评：本题考查了切割线定理，考查三角形相似的判断与性质的运用，解题的关键是运用切割线定理列方程求解．