Question

7．已知数列{a_n}的通项公式a_n=5-n，其前n项和为S_n，将数列{a_n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b_n}的前3项，记{b_n}的前n项和为T_n，若存在m∈N^*，使对任意n∈N^*，总有S_n＜T_n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由a_n=5-n，可得：a₁=4，a₂=3，a₃=2，a₄=1，可知：抽去a₂=3，剩下的3项4，2，1为等比数列{b_n}的前3项，则b₁=4，b₂=2，公比q=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．利用求和公式可得：{b_n}前n项和为T_n．又S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$，由存在m∈N^*，使对任意n∈N^*，总有S_n＜T_n+λ恒成立，利用单调性即可得出．

解答 解：由a_n=5-n，可得：a₁=4，a₂=3，a₃=2，a₄=1，可知：抽去a₂=3，剩下的3项4，2，1为等比数列{b_n}的前3项，则b₁=4，b₂=2，公比q=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
记{b_n}前n项和为T_n=$\frac{4[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=8$[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$．
又S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$，由存在m∈N^*，使对任意n∈N^*，总有S_n＜T_n+λ恒成立，
∴$\frac{n（4+5-n）}{2}$＜8$[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$+λ，
∴λ＞$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{9}{2}$n+8×$（\frac{1}{2}）^{n}$-8=f（n），
由f（n）=$-\frac{1}{2}$$（n-\frac{9}{2}）^{2}$+8×$（\frac{1}{2}）^{n}$+$\frac{17}{8}$，
在n≥5时单调递减，可得f（5）=$\frac{1}{4}$，f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=$\frac{5}{2}$．
故答案为：（$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．