Question

16．已知函数f（x）=ax³-3x²+1（a＞0），g（x）=lnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）=0求出f（x）的极值点，得出f（x）的单调性与单调区间，从而得出f（x）的极值；
（II）对x和a的范围进行讨论得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f（x），g（x）的零点个数，从而得出h（x）的零点个数．

解答 解：（ I）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=$\frac{2}{a}$．
∵a＞0，x₁＜x₂，
f′（x）及f（x）符号变化如下，

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{{a}^{2}}$+1=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1．
（ II）令g（x）=lnx=0，得x=1．
当0＜x＜1时，g（x）＜0；x=1时，g（x）=0；当x＞1时，g（x）＞0．
（1）当x＞1时，g（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上无零点．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（1，+∞）上无零点．
（2）当x=1时，g（1）=0，
所以1为g（x）的一个零点．
f（1）=a-2，
①当a=2时，1是f（x）的一个零点．
所以当a=2时，h（x）=max{f（x），g（x）}有一个零点．
②当0＜a＜2时，h（x）=max{f（x），g（x）}有一个零点．
③当a＞2时，h（x）=max{f（x），g（x）}无零点．
（3）当0＜x＜1时，g（x）＜0，g（x）在（0，1）上无零点．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，1）上的零点个数就是f（x）在（0，1）上的零点个数．
当a＞0时，由（ I）可知f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上为减函数，在（$\frac{2}{a}$，+∞）上为增函数，
且f（0）=1，f（1）=a-2，f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$．
①当$\frac{2}{a}＞1$，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a-2＜0，f（0）=1＞0．
所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．
②当$\frac{2}{a}=1$，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a-2=0，
所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．
③当$\frac{2}{a}＜1$，即a＞2时，f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上为减函数，在（$\frac{2}{a}$，1）上为增函数，
f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．
综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．

点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，函数最值的求法，函数零点个数的判断，属于中档题．