Question

16．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$在同一平面内且两两不共线，关于非零向量$\overrightarrow{a}$的分解有如下四个命题：
①给定向量$\overrightarrow{b}$，总存在向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$；
②给定向量$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$，总存在实数λ和μ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$+μ$\overrightarrow{c}$；
③给定单位向量$\overrightarrow{b}$和正数μ，总存在单位向量$\overrightarrow{c}$和实数λ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$+μ$\overrightarrow{c}$；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量$\overrightarrow{b}$和单位向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$+μ$\overrightarrow{c}$．
则所有正确的命题序号是①②．

Answer 1

分析 根据向量加法的三角形法则，可判断①；根据平面向量的基本定理可判断②③；举出反例λ=μ=1，|$\overrightarrow{a}$|＞2，可判断④．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$在同一平面内且两两不共线，
①给定向量$\overrightarrow{b}$，总存在向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，使$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，故①正确；
②由向量$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面内且两两不共线，
故给定向量$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$，总存在实数λ和μ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$+μ$\overrightarrow{c}$，故②正确；
③给定单位向量$\overrightarrow{b}$和正数μ，不一定存在单位向量$\overrightarrow{c}$和实数λ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$+μ$\overrightarrow{c}$，故③错误；
④当λ=μ=1，|$\overrightarrow{a}$|＞2时，不总存在单位向量$\overrightarrow{b}$和单位向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$+μ$\overrightarrow{c}$，故④错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查的知识点是平面向量的基本定理和应用，注意运用向量的加减运算性质和单位向量的概念，难度中档．