Question

11．求所有的正整数对（x，y），满足x^y=y^x-y．

Answer 1

分析 确定x≥y，分类讨论，若x=y，则x=y=1．若x＞y≥2，设x=ky，则k≥3，确定k=3，4，即可得出结论．

解答 解：显然（1，1）是解，且方程有解时，必有x≥y．
若x=y，则x=y=1．
若x＞y≥2，则由x^y=y^x-y得1＜$（\frac{x}{y}）^{y}$=y^x-2y，所以x＞2y，且y|x．
设x=ky，则k≥3，k^y=y^（k-2）y，所以k=y^k-2．
因y≥2，所以y^k-2≥2^k-2，因k≥5时，y^k-2≥2^k-2＞k，所以，k=3，4．
当k=3时，y=3，x=9； 当k=4时，y=2，x=8；
故所求所有正整数对（x，y）=（1，1），（9，3），（8，2）．

点评 本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．