Question

5．已知x³+sinx=m，y³+$\frac{1}{8}$sin2y=-$\frac{1}{8}$m，且x，y∈（-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$），m∈R，则tan（x+2y+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=x³+sinx，则f（x）+f（2y）=0，根据f（x）的奇偶性与单调性可得x+2y=0，于是tan（x+2y+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．

解答 解：令f（x）=x³+sinx，
则f（x）在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上为增函数，且f（x）为奇函数．
∵y³+$\frac{1}{8}$sin2y=-$\frac{1}{8}$m，∴8y³+sin2y=-m，
即f（2y）=-m，
∴f（x）+f（2y）=0，
∴x+2y=0，
∴tan（x+2y+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数单调性，奇偶性的判断与应用，属于中档题．