Question

7．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：
（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：

是否近视	1～50	951～1000	合计
年级名次
近视	41	32	73
不近视	9	18	27
合计	50	50	100

根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

附：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图可知：分布求得第一到第六组的频数，求得视力在5.0以的频率为1-0.08=0.82，全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；
（Ⅱ）求出K²，与临界值比较，K²≈4.110＞3.841．由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由图可得：前三组的频率分别为：0.03，0.07，0.27，
∴第一组有3人，第二组7人，第三组有27人，
后四组频数成等差数列，
∴后四组的频数27，24，21，18，
∴所以视力在5.0以的频率为1-0.08=0.82，
所以全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；
（Ⅱ）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100×（41×18-32×9）^{2}}{50×50×73×27}$≈4.110＞3.841．
因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；
（Ⅲ）由题意可知9人中年级名次在1-50名和951-1000名的人数分别为3人和6人，
∴X的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

∴E（X）=0×$\frac{5}{21}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{14}$+3×$\frac{1}{84}$=1，
E（X）=1．

点评 本题考查直方图，考查独立性检验的应用，考查求X的分布列和数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．