Question

3．已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，m∈R．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：4x-3y+7=0相交于M，N两点，且$|MN|=2\sqrt{5}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）方程C化为：（x-1）²+（y-2）²=5-m，由方程C表示圆，能求出实数m的取值范围．
（2）圆的圆心C（1，2），半径r=$\sqrt{5-m}$，求出圆心C（1，2）到直线l：4x-3y+7=0的距离d=1，由${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{1}{2}|MN|）^{2}$，能求出m的值．

解答 解：（1）方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，m∈R可化为：（x-1）²+（y-2）²=5-m，（2分）
∵方程C表示圆，∴5-m＞0，解得m＜5，
∴m＜5时方程C表示圆．即方程表示圆时，m的取值范围是（-∞，5）．（4分）
（2）圆的方程化为：（x-1）²+（y-2）²=5-m，
圆心C（1，2），半径r=$\sqrt{5-m}$，（6分）
则圆心C（1，2）到直线l：4x-3y+7=0的距离为：
d=$\frac{|4×1-3×2+7|}{\sqrt{16+9}}$=1．（8分）
∵$|MN|=2\sqrt{5}$，∴$\frac{1}{2}|MN|=\sqrt{5}$，
∵${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{1}{2}|MN|）^{2}$，
∴$5-m={1^2}+{（\sqrt{5}）^2}$…（10分）
解得m=-1．…（12分）

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查实数值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、勾股定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．