Question

19．设O为△ABC的外心，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OM}$，则M是△ABC的（　　）

• A． 重心（三条中线交点）
• B． 内心（三条角平分线交点）
• C． 垂心（三条高线交点）
• D． 外心（三边中垂线交点）

Answer 1

分析 设AB的中点为D，根据题意可得OD⊥AB．由题中向量的等式化简得CM⊥AB，即CM在AB边的高线上．同理可证出AM在BC边的高线上，故可得M是三角形ABC的垂心．

解答 解：在△ABC中，O为外心，可得OA=OB=OC，
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OM}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OC}$
设AB的中点为D，则OD⊥AB，$\overrightarrow{CM}$=2$\overrightarrow{OD}$，
∴CM⊥AB，可得CM在AB边的高线上．
同理可证，AM在BC边的高线上，
故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，
故选：C

点评 本题给出三角形中的向量等式，判断点P是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．