Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（1）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
（2）设有且仅有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀，求函数f（x）的解析表达式；
（3）在（2）的条件下，求f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件可令x=2，得到 f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2，又由f（2）=3，即可得到f（1）=1，
再由f（0）=a，即可得到f（a）=a；
（2）由条件可得，令x=x₀ ，f（x₀）-x₀²+x₀=x₀，解得x₀=0或1，代入检验x₀≠0，
则有f（x）=x²-x+1；
（3）求出对称轴，讨论当m≤

1

2

时，当

1

2

＜m≤1时，当m＞1时，函数的最值．

解答： 解：（1）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x，
所以 f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2，
又由f（2）=3，得f（3-2²+2）=3-2²+2，即f（1）=1；
若f（0）=a，即f（a-0²+0）=a-0²+0，
即f（a）=a；
（2）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x，
又因为有且只有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀，
所以对任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀，
在上式中令x=x₀ ，f（x₀）-x₀²+x₀=x₀，
又因为f（x₀）=x₀，则x₀^2-x₀=0，故x₀=0或1．
若x₀=0，即f（x）-x²+x=0，即f（x）=x²-x，
但方程x²-x=x0有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x₀≠0；
若x₀=1，则有f（x）-x²+x=1，
即f（x）=x²-x+1，易验证该函数满足题设条件；
综上，所求函数为f（x）=x²-x+1；
（3）由于f（x）=x²-x+1，对称轴为x=

1

2

，
当m≤

1

2

时，[0，m]为减区间，则f（x）的最小值为f（m）=m²-m+1，最大值为f（0）=1；
当m=1时，

1

2

∈[0，1]，则f（x）的最大值为f（0）=1，最小值为f（

1

2

）=

1

4

-

1

2

+1=

3

4

；
当m＞1时，f（m）＞f（0），则f（x）的最大值为f（m）=m²-m+1，最小值为f（

1

2

）=

1

4

-

1

2

+1=

3

4

；
当

1

2

＜m＜1时，f（m）＜f（0），则f（x）的最大值为f（0）=1，最小值为f（

1

2

）=

1

4

-

1

2

+1=

3

4

．
综上，当m≤

1

2

时，f（x）的最小值为m²-m+1，最大值为1；
当

1

2

＜m≤1时，f（x）的最大值为1，最小值为

3

4

；
当m＞1时，f（x）的最大值为m²-m+1，最小值为

3

4

．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调性及运用：求最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题和易错题．