Question

设函数f（x）=e^x（ax²+x+1），且a＞0，求函数f（x）的单调区间及其极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间及其极大值．

解答： 解：∵f（x）=e^x（ax²+x+1），∴f′（x）=ae^x（x+

1

a

）（x+2）（3分）
当a=

1

2

时，f′（x）≥0，f（x）在R上单增，此时无极大值；    （5分）
当0＜a＜

1

2

时，f′（x）＞0，则x＞-2或x＜-

1

a

，f′（x）＜0，则-

1

a

＜x＜-2
∴f（x）在（-∞，-

1

a

）和（2，+∞）上单调递增，在（-

1

a

，-2）上单调递减．…（8分）
此时极大值为f（-

1

a

）=e-

1

a

     （9分）
当a＞

1

2

时，f′（x）＞0，则x＜-2或x＞-

1

a

，f′（x）＜0，则-2＜x＜-

1

a

∴f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上单调递增，在（-2，-

1

a

）上单调递减．…（11分）
此时极大值为f（-2）=e^-2（4a-1）（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．