Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一系列对应值如下表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6
y	-2		4		-2		4

（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；
（3）若当x∈[0，

7π

6

]时，方程f（x）=m+1恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由最值求出A、B的值，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x的范围，可得函数f（x）单调递增区间．令x-

π

3

=kπ(k∈Z)，求得x的值，可得对称中心，的坐标．
（3）方程f（x）=m+1可化为m=3sin(x-

π

3

)，由x∈[0，

7π

6

]，利用正弦函数的定义域饿值域求得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设f（x）的最小正周期为T，得T=

11π

6

-(-

π

6

)=2π，再由T=

2π

ω

，得ω=1．
又

B+A=4 B-A=-2

，解得

A=3 B=1

．
令ω•

5π

6

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，即

5π

6

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，解得φ=-

π

3

，
所以f(x)=3sin(x-

π

3

)+1．
（2）令2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得 2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，
故函数f（x）单调递增区间为：[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈z．
令x-

π

3

=kπ(k∈Z)，得x=kπ+

π

3

(k∈Z)，
所以函数f（x）的对称中心为（kπ+

π

3

，1）．
（3）方程f（x）=m+1可化为m=3sin(x-

π

3

)．
因为x∈[0，

7π

6

]，所以 x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

6

]，∴sin（ x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
由正弦函数图象可知，实数m的取值范围是[-

3 3

2

，3]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的单调性、对称性、定义域和值域，属于基础题．