Question

设函数f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=-

1

2

时，不等式lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=-

1

2

时，根据f（x）=

-2x+2  ，x＜- 1 2 3  ， - 1 2 ≤x＜ 5 2 2x-2  ， x≥ 5 2

的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a-

5

2

|，可得|a-

5

2

|≥a，由此解得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵当a=-

1

2

时，f（x）=|x-

5

2

|+|x+

1

2

|=

-2x+2  ，x＜- 1 2 3  ， - 1 2 ≤x＜ 5 2 2x-2  ， x≥ 5 2

 的最小值为3，
∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|≥|（x-

5

2

）-（x-a）|=|a-

5

2

|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a-

5

2

|≥a，
∴a-

5

2

≥a，或 a-

5

2

≤-a，解得a≤

5

4

，故a的最大值为

5

4

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．