题目内容
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值；
（3）已知点M在线段AF上，且EM∥平面ADC，求
| AM |
| AF |
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD．
（2）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．
（3）设
=λ
，利用向量法能求出在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且
=
．
（2）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．
（3）设
| AM |
| AF |
| AM |
| AF |
| 3 |
| 4 |
解答：
（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）解：由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，
设AB=BD=DC=AD=2，
则BE=ED=1，∴AE=
，BC=2
，BF=
，
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，
），
F（
，0，0），C（
，2，0），
=(
，1，0)，
=(0，1，
)，
由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为
=(0，0，
)，
设平面ADC的一个法向量
=(x，y，z)，
则
，
取x=1，得
=(1，-
，-1)，
∴cos＜
，
＞=-
∴二面角A-DC-B的余弦值为
．
（3）设
=λ
，其中λ∈[0，1]，
∵
=(
，0，-
)，∴
=λ
=λ(
，0，-
)，
∴
=
+
=(
λ，0，(1-λ)
)，
由
•
=0，得
λ-(1-λ)
=0，解得λ=
∈[0，1]，
∴在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且
=
．
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）解：由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，
设AB=BD=DC=AD=2，
则BE=ED=1，∴AE=
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，
| 3 |
F（
| ||
| 3 |
| 3 |
| DC |
| 3 |
| AD |
| 3 |
由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为
| EA |
| 3 |
设平面ADC的一个法向量
| n |
则
|
取x=1，得
| n |
| 3 |
∴cos＜
| n |
| EA |
| ||
| 5 |
∴二面角A-DC-B的余弦值为
| ||
| 5 |
（3）设
| AM |
| AF |
∵
| AF |
| ||
| 3 |
| 3 |
| AM |
| AF |
| ||
| 3 |
| 3 |
∴
| EM |
| EA |
| AM |
| ||
| 3 |
| 3 |
由
| EM |
| n |
| ||
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
∴在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且
| AM |
| AF |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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| A、3x＜3y | ||||
B、
| ||||
| C、lnx＜lny | ||||
D、（
|