Question

若0＜α＜β＜γ＜2π，且cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，则γ-α=

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：由cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0可得，-cosβ=cosα+cosγ，-sinβ=sinα+sinγ
两边同时平方相加可得，sin²β+cos²β=（cosα+cosγ）²+（sinα+sinγ）²，整理可求cos（γ-α）=-

1

2

结合0＜α＜β＜γ＜2π可求γ-α．

解答： 解：∵cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0
∴-cosβ=cosα+cosγ，-sinβ=sinα+sinγ
两边同时平方相加可得，sin²β+cos²β=（cosα+cosγ）²+（sinα+sinγ）²
∴1=2+2cosαcosγ+2sinαsinγ
∴2cos（α-γ）=-1，cos（β-α）=-

1

2

∵0＜α＜β＜γ＜2π
∴0＜γ-α＜2π
∴γ-α=

2π

3

或

4π

3

；
故答案为：

2π

3

或

4π

3

．

点评：本题主要考查了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin²β+cos²β=1，从而可得α，γ的基本关系．