Question

已知底面是正方形的四棱锥P-ABCD，PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点．
（1）若E为PC的中点，求证：PA∥面BDE；
（2）证明：不论点E在何位置，都有BD⊥AE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设AC∩BD=O，可得EO∥PA，再利用直线和平面平行的判定定理证得PA∥面BDE．
（2）由PC⊥底面ABCD，可得BD⊥PC；由 底面ABCD是正方形，可得BD⊥AC，利用直线和平面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，从而证得BD⊥AE．

解答： （1）证明：底面是正方形的四棱锥P-ABCD，PC⊥底面ABCD，设AC∩BD=O，则O为AC的中点．
再根据E为PC的中点，可得EO∥PA．
∵PA?面BDE，EO?面BDE，∴PA∥面BDE．
（2）证明：由PC⊥底面ABCD，可得BD⊥PC；∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
再根据 AC∩PC=C，可得BD⊥平面PAC．
而AE?平面PAC，∴BD⊥AE．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题．