Question

9．在二项式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，
（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．
（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．

Answer 1

分析 （1）根据二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中二项式系数最大的项．
（2）前三项系数的绝对值成等差数列，求得n=8，再令x=1，可得展开式中各项的系数和．

解答 解：（1）由已知得$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n=64$，2ⁿ=64，∴n=6，
展开式中二项式系数最大的项是${T_4}=C_6^3{（{x^{\frac{1}{3}}}）^{6-3}}{（-\frac{1}{2}{x^{-\frac{1}{3}}}）^3}=20•（-\frac{1}{8}）•{x^0}=-\frac{5}{2}$．
（2）展开式的通项为${T_{r+1}}={（-\frac{1}{2}）^r}C_n^r{x^{\frac{n-2r}{3}}}$，（r=0，1，…，n）
由已知：${（-\frac{1}{2}）^0}C_n^0，（\frac{1}{2}）C_n^1，{（\frac{1}{2}）^2}C_n^2$成等差数列，$2×\frac{1}{2}C_n^1=1+\frac{1}{4}C_n^2$，∴n=8，
在${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，令x=1，得各项系数和为$\frac{1}{256}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．