Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，AC=1，AA₁=2，∠BAC=90°，若直线AB₁与直线A₁C的夹角的余弦值是$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，则棱AB的长度是2．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，求出向量的坐标，利用直线AB₁与直线A₁C的夹角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$，建立方程，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示的坐标系，设AB=x，则A（0，0，0），B₁（x，0，2），A₁（0，0，2），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（x，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，1，-2），
∵直线AB₁与直线A₁C的夹角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即$\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+4}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，∴x=2．
故答案为：2．

点评 题考查异面直线所成角的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查向量知识，属于中档题．