Question

1．已知向量$\overrightarrow a=（cosωx，sinωx）$，$\overrightarrow b=（cosωx，\sqrt{3}cosωx）$，其中ω＞0，函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$，其最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；
（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（$\frac{A}{2}$）=1，b=1，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=1，求得A=$\frac{π}{3}$，根据S_△ABC =$\sqrt{3}$，求得 c=4，再利用余弦定理求得a=$\sqrt{{b}^{2}{+c}^{2}-2bc•cosA}$ 的值．

解答 解：（1）函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
其最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）在△ABC中，∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴A=$\frac{π}{3}$，又 b=1，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$•1•c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴c=4，∴a=$\sqrt{{b}^{2}{+c}^{2}-2bc•cosA}$=$\sqrt{1+16-8•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，余弦定理的应用，属于中档题．