Question

10．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对一切x∈R恒成立，则以下结论正确的是①②④（写出所有正确结论的编号）．
①$f（\frac{5π}{12}）=0$；
②$|{f（\frac{7π}{12}）}$|≥$|{f（\frac{π}{3}）}$|；
③f（x）的单调递增区间是（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$）（k∈Z）；
④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简f（x），根据f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|可得，a，b的值．然后对个结论依次判断即可．

解答 解：由f（x）=asin 2x+bcos 2x=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+φ）．
∵f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对一切x∈R恒成立
∴当x=$\frac{π}{6}$时，函数取得最大值，即2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故得f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
则f（$\frac{5π}{12}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2×$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=0，∴①对．
②f（$\frac{7π}{12}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2×$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=$-\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$
f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，∴$|{f（\frac{7π}{12}）}$|≥$|{f（\frac{π}{3}）}$|，∴②对．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
解得：$-\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间是（kπ$-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z）；∴③不对
f（x）的对称轴2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）；∴③
解得：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，不是偶函数，
当x=0时，f（0）=$\frac{1}{2}$，不关于（0，0）对称，
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
故答案为①②④．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对一切x∈R恒成立，确定φ的一个值时解题的关键，属于中档题．