Question

9．已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设经过F₂的直线m与曲线C交于P、Q两点，若${\overrightarrow{QF}_2}=2\overrightarrow{{F_2}P}$，求直线m的斜率．

Answer 1

分析 （I）由题意可知：|F₁F₂|=2c=2，则c=1，2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|=2a，则a=2，b²=a²-c²=3，即可写出椭圆的方程；
（II）设直线m方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t的值，求得直线m的斜率．

解答 解：（I）由题意设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由|F₁F₂|=2c=2，则c=1，
|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．即2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|=2a，则a=2，
b²=a²-c²=3，
椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（5分）
（ II）由题意知直线m的斜率不为0，且经过右焦点（1，0），故设直线m方程为x=ty+1
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3t²+4）y²+6yt-9=0
显然△＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）$则{y_1}+{y_2}=-\frac{6t}{{3{t^2}+4}}$…①${y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{t^2}+4}}$…②
由${\overrightarrow{QF}_2}=2\overrightarrow{{F_2}P}$，得y₂=-2y₁…③
解①②③得$t=±\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
所以，直线m的斜率$k=\frac{1}{t}=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．